Метод обратных функций
Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину X , т. е. получить последовательность ее возможных значений x i (i = 1,2, ...), зная функцию распределения F (х ).
Теорема. Если r i ,-случайное число, то возможное значение x i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с заданной функцией распределения F (х ), соответствующее r i , является корнем уравнения
F (х i )= r i . (»)
Доказательство. Пусть выбрано случайное число r i (0≤r i <1). Так как в интервале всех возможных значений Х функция распределения F (х ) монотонно возрастает от 0 до 1, то в этом интервале существует, причем только одно, такое значение аргумента х i , при котором функция распределения примет значение r i . Другими словами, уравнение (*) имеет единственное решение
х i = F - 1 (r i ),
где F - 1 - функция, обратная функции у= F (х ).
Докажем теперь, что корень х i уравнения (*) есть возможное значение такой непрерывной случайной величины (временно обозначим ее через ξ , а потом убедимся, что ξ=Х ). С этой целью докажем, что вероятность попадания ξ в интервал, например (с, d ), принадлежащий интервалу всех возможных значений X , равна приращению функции распределения F (х ) на этом интервале:
Р (с< ξ < d )= F (d )- F (с ).
Действительно, так как F (х )- монотонно возрастающая функция в интервале всех возможных значений X, то в этом интервале большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции, и обратно. Поэтому, если с <х i < d , то F (c )< r i < F (d ), и обратно [учтено, что в силу (*) F (х i )=r i ].
Из этих неравенств следует, чтоесли случайная величина ξ заключена в интервале
с< ξ < d , ξ (**)
то случайная величина R заключена в интервале
F (с )< R < F (d ), (***)
и обратно. Таким образом, неравенства(**) и (***) равносильны, а, значит, и равновероятны:
Р (с < ξ< d )=Р [F (с )< R < F (d )]. (****)
Так как величина R распределена равномерно в интервале (0,1), то вероятность попадания R в некоторый интервал, принадлежащий интервалу (0,1), равна его длине (см. гл. XI, § 6, замечание). В частности,
Р [F (с )< R < F (d ) ] = F (d ) - F (с ).
Следовательно, соотношение (****) можно записать в виде
Р (с < ξ< d )= F (d ) - F (с ).
Итак, вероятность попадания ξ в интервал (с, d ) равна приращению функции распределения F (х ) на этом интервале, а это означает, что ξ=Х. Другими словами, числа х i , определяемые формулой (*), есть возможные значения величины Х с заданной функцией распределения F (х ), что и требовалось доказать.
Правило 1. х i , непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х ), надо выбрать случайное число r i приравнять его функции распределения и решить относительно х i , полученное уравнение
F (х i )= r i .
Замечание 1. Если решить это уравнение в явном видене удается, то прибегают к графическим или численным методам.
Пример I. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 10).
Решение. Напишем функцию распределения величины X, распределенной равномерно в интервале (а, b ) (см. гл. XI, § 3, пример):
F (х )= (х-а )/ (b -а ).
По условию, а = 2, b =10, следовательно,
F (х )= (х- 2)/ 8.
Используя правило настоящего параграфа, напишем уравнение для отыскания возможных значений х i , для чего приравняем функцию распределения случайному числу:
(х i -2 )/8= r i .
Отсюда х i =8 r i + 2.
Выберем 3 случайных числа, например, r i =0,11, r i =0,17, r i =0,66. Подставим эти числа в уравнение, разрешенное относительно х i , в итоге получим соответствующие возможные значенияX : х 1 =8·0,11+2==2,88; х 2 =1.36; х 3 = 7,28.
Пример 2. Непрерывная случайная величина Х распределенапопоказательному закону, заданному функцией распределения (параметр λ > 0 известен)
F (х )= 1 - е - λ х (х>0 ).
Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.
Решение. Используя правило настоящего параграфа, напишем уравнение
1 - е - λ х i
Решим это уравнение относительно х i :
е - λ х i = 1 - r i , или - λ х i = ln (1 - r i ).
х i =1п (1– r i )/λ.
Случайное число r i заключено в интервале (0,1); следовательно, число 1 - r i , также случайное и принадлежит интервалу (0,1). Другими словами, величины R и 1 - R распределены одинаково. Поэтому для отыскания х i можно воспользоваться более простой формулой:
x i =- ln r i /λ.
Замечание 2. Известно, что (см. гл. XI, §3)
В частности,
Отсюда следует, что если известна плотность вероятности f (x ), то для разыгрывания Х можно вместоуравнений F (x i )=r i решить относительно x i уравнение
Правило 2. Для того чтобы найти возможное значение х i (непрерывной случайной величины X, зная ее плотность вероятности f (x ) надо выбрать случайное число r i и решить относительно х i , уравнение
или уравнение
где а- наименьшее конечное возможное значение X.
Пример 3. Задана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х f (х )=λ (1-λх /2) в интервале (0; 2/λ); вне этого интервала f (х )= 0. Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.
Решение. Напишем в соответствии с правилом 2 уравнение
Выполнив интегрирование и решив полученное квадратное уравнение относительно х i , окончательно получим
Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. С этой целью выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.
Практически же поступают так: вычисляют (разыгрывают) n возможных значений x i случайной величины Х, находят их среднее арифметическое
И принимают в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа а. Таким образом, для применения метода Монте-Карло необходимо уметь разыгрывать случайную величину.
Пусть требуется разыграть дискретную случайную величину Х, т.е. вычислить последовательность ее возможных значений х i (i=1,2, …), зная закон распределения Х. Введем обозначения: R- непрерывная случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,1); r i (j=1,2,…) – случайные числа (возможные значения R).
Правило: Для того чтобы разыграть дискретную случайную величину Х, заданную законом распределения
Х х 1 х 2 … х n
P p 1 p 2 … p n
1. Разбить интервал (0,1) оси or на n частичных интервалов:
Δ 1 =(0;р 1), Δ 2 =(р 1 ; р 1+ р 2), …, Δ n = (р 1 +р 2 +…+р n -1 ; 1).
2.Выбрать случайное число r j . Если r j попало в частичный интервал Δ i , то разыгрываемая величина приняла возможное значение х i . .
Разыгрывание полной группы событий
Требуется разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий полной группы, вероятности которых известны. Разыгрывание полной группы событий сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины.
Правило: Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий А 1, А 2, …, А n полной группы, вероятности которых р 1, р 2 , …, р n известны, достаточно разыграть дискретную величину Х со следующим законом распределения:
P p 1 p 2 … p n
Если в испытании величина Х приняла возможное значение x i =i, то наступило событие А i .
Разыгрывание непрерывной случайной величины
Известна функция распределения F непрерывной случайной величины Х. Требуется разыграть Х, т.е. вычислить последовательность возможных значений х i (i=1,2, …).
А. Метод обратных функций. Правило 1. х i непрерывной случайной величины Х, зная ее функцию распределения F, надо выбрать случайное число r i , приравнять его функции распределения и решить относительно х i полученное уравнение F(х i) = r i .
Если известна плотность вероятности f(x), то используют правило 2.
Правило 2. Для того чтобы разыграть возможное значение х i непрерывной случайной величины Х, зная ее плотность вероятности f, надо выбрать случайное число r i и решить относительно х i уравнение
или уравнение
где а – наименьшее конечное возможное значение Х.
Б. Метод суперпозиции. Правило 3. Для того чтобы разыграть возможное значение случайной величины Х, функция распределения которой
F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x),
где F k (x) – функции распределения (k=1, 2, …, n), С k >0, С i +С 2 +…+С n =1, надо выбрать два независимых случайных числа r 1 и r 2 и по случайному числу r 1 разыгрывать возможное значение вспомогательной дискретной случайной величины Z (по правилу 1):
p C 1 C 2 … C n
Если окажется, что Z=k, то решают относительно х уравнение F k (x) = r 2 .
Замечание 1. Если задана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х в виде
f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),
где f k – плотности вероятностей, коэффициенты С k положительны, их сумма равна единице и если окажется, что Z=k, то решают (по правилу 2) относительно х i относительно или уравнение
Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины
Правило. Для того чтобы приближенно разыграть возможное значение х i нормальной случайной величины Х с параметрами а=0 и σ=1, надо сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6:
Замечание . Если требуется приближенно разыграть нормальную случайную величину Z с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ, то, разыграв возможное значение х i по приведенному выше правилу, находят искомое возможное значение по формуле: z i =σx i +a.
Обозначим равномерно распределенную СВ в интервале (0, 1) через R, а ее возможные значения (случайные числа) - r j .
Разобьем интервал }
